Matematica și ordinea în gândire

Elevii sunt împinși, de multe ori, să învețe formule fără să le vadă logica. Matematica ajunge astfel să fie asociată cu formule, calcule și rezultate exacte. În realitate, una dintre cele mai importante contribuții ale ei este mai puțin vizibilă: ne învață să gândim în ordine.

În fața unei probleme matematice nu este suficient să intuim răspunsul. Trebuie să identificăm datele, să stabilim legături între ele, să alegem o strategie și să construim, pas cu pas, un raționament care poate fi urmărit și verificat.

Această disciplină a gândirii depășește cu mult ora de matematică. A ști să separi ceea ce cunoști de ceea ce trebuie demonstrat, să nu sari peste etape importante și să verifici dacă o concluzie rezultă într-adevăr din informațiile disponibile sunt deprinderi utile în aproape orice situație în care trebuie să luăm o decizie sau să rezolvăm o problemă. Uneori este greu de înțeles cu ce ne ajută să învățăm formule din trigonometrie, calcule cu puteri sau chiar tabla înmulțirii. Recunosc că nu sunt o persoană căreia îi place să memoreze pur și simplu informații. De cele mai multe ori rețin lucrurile atunci când pot crea conexiuni între ele.

Când eram în clasele primare, îmi amintesc și acum cât de mult m-am chinuit să memorez tabla înmulțirii. Mai târziu am înțeles însă că rolul ei nu era doar acela de a putea răspunde imediat la întrebarea „cât fac 7 ori 8?”. Odată ce o stăpâneam, puteam descompune și înțelege mult mai ușor alte calcule. Trebuia doar să fac câteva conexiuni. La momentul respectiv, ar fi contat enorm dacă mi s-ar fi explicat că nu trebuie să pun atâta presiune pe a reține, ci pe a învăța și a înțelege.

Oare ce s-ar întâmpla cu matematica din mintea mea dacă aș învăța toate formulele „ca pe poezie”? Ori de câte ori am ocazia, le spun și elevilor mei același lucru: nu învățăm la întâmplare. Învățăm cu sens.

A cunoaște o formulă și a ști când să o folosești sunt două lucruri complet diferite. Un elev poate reproduce perfect teorema lui Pitagora și, în același timp, să nu o recunoască într-o problemă în care triunghiul dreptunghic nu îi este prezentat în forma cu care s-a obișnuit.

Vă povestesc o întâmplare reală dintr-o ședință de meditații, întâmplare de acum aproximativ 4 ani, în care lucram exerciții cu aplicarea teoremei lui Pitagora în triunghiul dreptunghic la clasa a VII-a. O elevă (o să o numesc M.) foarte conștiincioasă îmi enunță teorema: " suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei". Până aici totul bine, dar, desenez un triunghi pe care îl notez ABC, unghiul A era cel drept, iar M. spune "aa gata $AB^2+AC^2 = BC^2$." Perfect în continuare, însă firea mea curioasă îmi spune să mai desenez un alt triunghi: MNP, cu N unghi drept. Aici apare problema mare, M. îmi răspunde: "Eu nu am făcut așa ceva." Atunci am realizat că știa doar un singur lucru învățat absolut mecanic și recunosc că am pierdut mai mult de o oră cu discuții pentru a putea înțelege mai bine unde se rupe raționamentul:

• "M., îmi poți spune care sunt catetele acestui triunghi MNP, desenat pe tabla?"
• "Păi catetele... Catetele sunt cele care formează unghiul drept."
• "Care este numele acelor catete din triunghiul MNP?"
• "Păi nu știu, nu am făcut așa cu MNP, v-am spus!"
• "Atunci poți să-mi arăți la tablă care sunt laturile care formează acest unghi drept?"

Iar de aici discuția a continuat cu intervențiile mele, prin întrebări ghidate, către răspuns, iar la final M. știa că este mult mai ușor dacă înțelege totul logic.

Nu vreau să mint totuși, a fost o luptă grea pentru mine, nu sunt sigur că am putut schimba foarte multe, deoarece timpul a fost limitat: se apropia vara (colegii de matematică știu că această teoremă se studiază spre finalul clasei a VII-a), iar programul a început cu puțin după vacanța de primăvară.

Morala acestei povești este că matematica nu poate fi făcută cu poezii ci cu legături, raționamente clare, fiind un lanț de cunoștințe. Acest lanț, odată rupt, trebuie legat de unde a fost întrerupt, altfel apar întrebări multe, nimic nu mai poate fi înțeles logic.

Schema logică a unei probleme trebuie să fie următoarea: Ce știu? → Ce mi se cere? → Ce legătură există între ele? → Ce instrument matematic pot folosi? → Are sens rezultatul obținut? Asta este, de fapt, esența matematicii: cum gândim?

În 2026 am finalizat programul de masterat "Matematică Didactică", la Facultatea de Matematică din cadrul UniBuc. În finalul acestui program am susținut o lucrare cu titlul "Managementul greșelilor în învățarea conceptelor matematice."

De ce această temă? Pentru că este important să facem și greșeli! Da, școala românească pune preț foarte mare pe greșeală. Îi învățăm pe elevi că dacă greșesc este ireparabil, nu mai au nimic de făcut, când, de fapt aici este miezul învățării adevărate: "din propriile greșeli învățăm".

Eliminând frica de greșeală aducem îmbunătățiri în gestionarea anxietății unui adolescent, raportându-ne aici la orele de matematică, unde un elev care știe că dacă răspunde greșit este corectat fără nicio sancțiune, va fi mult mai curios.

Prin ochii unui matematician tema lucrării mele nu este privită cu ochi foarte buni, însă scrierea ei m-a împlinit pe plan personal, dar și profesional. Am înțeles că elevii mei nu greșesc la întâmplare, ci din diverse raționamente greșite.

Concret: Un elev care spune că: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} = \dfrac {2}{5}$, în loc de $\dfrac{5}{6}$. Nu înțelege de ce trebuie să aducă la același numitor.., iar aici nu este suficient să spunem doar "pune numitorul comun și adună numărătorii". VIZUAL! Elevii de gimnaziu rețin cel mai bine proprietățile din exemple particulare, care înaintează spre regulă, nu invers.

Ce aș face eu în situația de mai sus? Aș desena pătrățele! Fracțiile echivalente, odată clarificate, fac lumină în mintea unui elev.

Aș putea vorbi despre acest subiect zile la rând și tot nu s-ar termina, dar o să mai revin cu intervenții.

Poate că, peste ani, un elev nu își va mai aminti formula unui șir sau toate identitățile trigonometrice. Mi-ar plăcea însă să rămână cu reflexul de a se opri în fața unei probleme, de a pune informațiile în ordine, de a căuta legăturile dintre ele și de a nu accepta o concluzie doar pentru că „pare corectă”. Dacă matematica reușește să formeze acest reflex, atunci rolul ei în educație este mult mai mare decât acela de a ne învăța să calculăm.