Soluții subiect matematică 2026

Citind cu atenție cerința observăm că în această problemă sunt trei necunoscute, mai exact, suma alocată fiecărui fermier. Astfel că o să le notăm, pentru ușurința exprimării acestora, cu: $f_1$ suma de bani cheltuită de primul fermier, $f_2$ suma cheltuită de cel de-al doilea și cu $f_3$ suma cheltuită de al treilea. Înainte de a forma schema, parcurgem atent informațiile din text: "au avut alocată, în total, suma de 1974 de lei." și "fiecăruia dintre cei trei i-a rămas suma de 240 de lei", de unde putem scrie că $f_1+f_2+f_3 = 1974-240\cdot 3 = 1254$ de lei. Pentru că ne interesează doar cât a cheltuit fiecare. Continuăm: "Suma de bani cheltuită de primul fermier a fost jumătate din cea cheltuită de al doilea fermier", așadar $f_2=f_1\cdot 2$, urmând: "....și cu 6 lei mai mică decât suma cheltuită de al treilea fermier.", astfel putem scrie algebric: $f_1=f_3-6$.

Toate cele de mai sus sunt sugestii despre cum gândim această problemă, dar cum redactăm pe foaia de examen?

Având toate informațiile de mai sus pe ciornă, putem scrie pe foaia de examen: Notăm $f_1, f_2$ și $f_3$ sumele cheltuite de cei trei fermieri. Știind că împreună au avut 1974 lei spre a fi cheltuiți, însă fiecare a rămas cu 240, putem afirma că suma totală cheltuită este $1974-240\cdot 3 = 1254.$ $f_1+f_2+f_3=1254$, $f_1= \frac{1}{2} f_2 \Leftrightarrow f_2 = 2\cdot f_1$ și $f_1 = f_3-6 \Leftrightarrow f_3 = f_1+6$. Așadar:

Mărește

1) Cât reprezintă cele 4 părți egale? Răspuns: $1254 - 6 = 1248$ lei

2) Cât reprezintă o parte din cele patru egale? Răspuns: $1248: 4 = 312$ lei.

3) Câți bani a cheltuit fiecare fermier în parte? Răspuns: $f_1 = 312$ lei, $f_2 = 624$ lei și $f_3 = 318$ lei.

4) Ce sumă a avut fiecare fermier inițial? Răspuns: 552 lei (primul fermier), 864 lei (al doilea fermier) și 558 (cel de-al treilea fermier).

Verificare (opțional): $552+864+558 = 1974$ lei

Astfel am rezolvat prima problemă cu punctaj maxim și explicații suplimentare, astfel încât corectorul să observe o bună cunoaștere a metodei de rezolvare, dar și să fie condus prin rezolvare într-un mod firesc.

Mărește

În acest exercițiu totul ține de citirea corectă a diagramei de mai sus.

a) Procentul merilor este egal cu 100% - 10% (piersici) - 15% (gutui) - 25% (pruni) - 20% (peri) = 30%=$\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$.

b) Numărul gutuilor = 15%$\cdot 600$ = $\frac {15}{100}\cdot 600 = 15\cdot 6 = 90.$

Mărește

Pentru orice problemă de geometrie recomand, de fiecare dată, să începem cu un desen:

Mărește

Am făcut un desen unde am trasat și cele două înalțimi ale trapezului, DF și CE. Rezolvare:

a) Știm că $\measuredangle D =\measuredangle C $, iar $\measuredangle C +\measuredangle B =180^\circ$, așadar $\measuredangle C = 180^\circ - \measuredangle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ=\measuredangle D.$

b) Aria trapezului are formula $A = \dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$, fiind necesar să aflăm lungimea bazei mari.

Fie $DF\perp AB, F\in AB$ și $CE\perp AB, E\in AB$. Observăm că EF=CD = 40 cm, deoarece EFDC este dreptunghi. Triunghiul dreptunghic $\Delta CEB$ are $\measuredangle B = \measuredangle C = 45^\circ$ , deci este isoscel, așa că $CE = BE = 40 cm$. Triunghiurile $\Delta CEB $ este congruent cu $\Delta DFA$ conform cazului catetă - ipotenuză și AF=EB=40 cm, deci $AB = 40\cdot 3 = 120$ cm.

Astfel aria trapezului ABCD este $A = \dfrac{(AB+DC)\cdot CE}{2} = \dfrac{(120+40)\cdot 40}{2} =160\cdot 20 = 3200 cm^2.$

Mărește

Trasăm o figură ajutătoare:

Mărește

Pentru că se cer metri cubi, este necesar să calculăm volum soclului, urmând formula $V= L\cdot l\cdot h$, unde L, l și h sunt dimensiunile paralelipipedului exprimate în aceeași unitate de măsură.

Știind că triunghiul EFG are $\measuredangle F = 90^\circ$, atunci rezultă conform teoremei lui Pitagora că:

Pentru a putea calcula volumul, exprimăm și înlțimea în centrimetri, 2m = 200 cm.

Deci sunt necesari 1,08 metri cubi de beton pentru a construi soclul.

Aceasta este rezolvarea pentru exercițiile de matematică din cadrul subiectului de titularizare pentru învățători din vara anului 2026.